Kalkulus: Fungsi

Fungsi Matematika

Hal pertama yang wajib dipelajari dalam belajar kalkulus adalah fungsi. Hal ini karena fungsi merupakan salah satu konsep dalam kalkulus. Apa sebenarnya itu fungsi dalam kalkulus? fungsi dapat didefiniskan sebagai suatu persamaan apabila untuk setiap x dalam domain persamaan dan persamaan tersebut akan menghasilkan tepat satu nilai y ketika mengevaluasi pada x tertentu. Dimana doamain adalah semua x yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan. Untuk memahami lebih mempermudah memahami apa itu fungsi, langsung saja ke contoh berikut:

$$ y=x +2 $$

Dalam contoh tersebut ada satu kemungkinan nilai y, yaitu dengan menambahkan nilai x, entah berapapun nilai dari x lalu dijumlahkan dengan 1. Sehingga dapat ditulis fungsi x tersebut menjadi:

$$ f(x) = x+2 $$

Bila Anda memberikan nilai x = 3, maka nilai y diperoleh adalah:

$$ f(3) = 3+2 = 5 $$

Hal ini juga berlaku untuk fungsi yang lebih kompleks lagi, seperti:

$$ y = 10x^2 - 4x + 2$$

Atau bisa dinotasikan menjadi fungsi:

$$ f(x) = 10x^2 - 4x + 2$$

Misal nilai x adalah 10, maka nilai y dari fungsi tersebut adalah:

$$ f(10) = 10(10)^2 - 4(10) + 2 = 1000 - 40 +2 = 962 $$

Mari coba fungsi lainnya, suatu fungsi x didefinisikan:

$$f(x) = x^2 + 2x - 5$$

Dimana nilai x:

a. f(3)

b. f(-5)

c. f(z)

d. f(z-3)

e. f(x-2)

f. f(2x-1)

Jawab:

a. $$f(3) = (3)^2 + 2(3) - 5 = 10 $$

b. $$f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 5 = 10 $$

c. $$f(z) = z^2 + 2z - 5 $$

d. $$f(z-3) = (z-3)^2 + 2(z-3) - 5 = z^2 - 6z +9 + 2z - 6 - 5 = z^2 - 4z - 2$$

e. $$f(x-2) = (x-2)^2 + 2(x-2) - 5 = x^2 - 4x + 4 + 2x - 4 - 5 = x^2 - 2x - 5$$

f. $$f(2x-1) = (2x-1)^2 + 2(2x-1) - 5 = 4x^2 - 4x +1 + 4x-2-5 = 4x^2 -6 $$

Mudah bukan? bagaimana jika suatu fungsi nilainya sama dengan 0 atau g(x) = 0?

Misal, $$f(z) = 8z^3 -16z^2 + 8z = 0 $$ maka hal pertama yang perlu dilakukan adalah mencari faktonya sehingga $$ 8z (z^2-2z+1)$$ selanjutnya mendapat $$ 8z = 0 \newline dan \newline z^2 - 2z + 1 = 0 $$. Dengan begitu, nilai z yang pertama adalah 0 dan yang kedua dengan mencari faktor menggunakan rumus ABC: $$z^2 - 2z + 1 = 0 \newline z = \frac{-(-2) \pm 1 \sqrt {(-2)^2 - 4.1.1}} {2.1} \newline z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0} }{2.1} = 1$$

Jadi, nilai z yang memenuhi untuk fungsi tersebut adalah 0 dan 1.

Operasi Fungsi

Fungsi juga dapat Anda operasikan terkadang suatu fungsi juga merupakan hasil operasi dari beberapa fungsi sederhana. Misalnya, $$f(x) = \frac{x \sqrt{x}-x^2}{4x^3+x} $$

Jika diketahui suatu fungsi $$f(x) =x^2 \newline dan \newline g(x) = 4$$ maka:

a. $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 4$$

b. $$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 4$$

c. $$(10f)(x) = 10 . f(x) = 10x^2$$

d. $$(fg)(x) = f(x) g(x) = x^2 . 4 = 4x^2$$

e. $$\frac {f}{g}(x) = {\frac {f(x)}{g(x)}} = \frac {x^2}{4}$$

Fungsi Komposisi

Atau bisa disebut dengan penggabungan dua buah fungsi dengan memasukkan fungsi kedua kedalam fungsi pertama. Dalam penggabungan fungsi ini, urutan penggabungan fungsi sangat berpengaruh terhadap hasilnya. Fungsi komposisi ini dapat dinotasikan sebagai berikut: $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

Diberikan suatu fungsi $$f(x) = 10x^2 - 5x + 2 \newline g(x) = 2x+5$$ maka tentukan fungsi kompoisi dengan aturan:

a. $$(f \circ g)(2)$$

b. $$(f \circ g)(x)$$

c. $$(g \circ f)(x)$$

d. $$(g \circ g)(x)$$

Jawab:

a. $$(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(9) = 767$$

b. $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+5) = 10(2x+5)^2 - 5(2x+5) + 2 = 40x^2 + 190x + 227$$

c. $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(10x^2 - 5x + 2) = 2(10x^2 - 5x + 2)+5 = 20x^2 -10x + 9$$

d. $$(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(2x+5) = 2(2x+5)+5 = 4x + 15$$

Demikian materi pertama tentang Kalkulus terutama Fungsi dalam Matematika. Untuk contoh soal masih dalam proses pengerjaan, tetap pantau website materistatistik.com untuk mendapatkan update.

Referesni tulisan:

comments powered by Disqus